A mértani testek világa: alapfogalmak és nevezetes példák
A geometriában test alatt olyan háromdimenziós alakzatokat értünk, amelyek határfelülettel jellemezhetőek.
A természet formái között találkozhatunk hasábokkal, hengerekkel, gömbökkel, kúpokkal és más mértani testekkel. Ezeket az alakzatokat láthatták az emberek évezredekkel ezelőtt is. A minket körülvevő tárgyak tulajdonságai alapján alakultak ki a térgeometriai fogalmaink.
A matematikában a test a térnek felületekkel körülhatárolt része. A mértani testekre többféleképpen is lehet gondolni. Ha a teret ponthalmazként értelmezzük, akkor a mértani testek ponthalmazok, melyek teljesítenek bizonyos tulajdonságokat. A térgeometriában a test korlátos zárt háromdimenziós alakzat a térben, melyet véges sok, sík vagy görbült felület határol. A korlátosság azt jelenti, hogy a ponthalmaz befoglalható egy elég nagy gömbbe. A határoló felületek uniója a test felszíne.
A test felülete két részre bontja a teret. A geometriai modellezésben a test korlátos és reguláris részhalmaza a háromdimenziós térnek. Egy halmaz reguláris, ha megegyezik belsejének lezártjával. Ez a feltétel biztosítja, hogy a test tartalmazza a határát, és teljesen háromdimenziós, azaz nincsenek alacsonyabb dimenziós tartományai.
Egy test felszíne állhat több, egymással nem összefüggő darabból; például, ha üreges (nem tömör). Ha ezek a felületek irányítva vannak, akkor a test leírható felületével.
Ha egy test konvex, akkor konvex testnek nevezzük. A szabályos testek konvexek.
A mértani testek csoportosítása
A mértani testeket többféleképpen csoportosíthatjuk. Az egyik felosztáshoz a test felületét vizsgáljuk meg.
Poliéderek
Azokat a testeket, amelyeket csak sokszöglapok határolnak, poliédereknek nevezzük. Poliédernek nevezzük a testet, ha csak síkok határolják, ilyenek speciálisan a hasábok, és a kockák például. A poliéder jellemzői: csúcs, él, lap, lapátló, testátló.
A szabályos (vagy platóni) testnek olyan konvex testeket értünk, amelyeknek minden lapját egybevágó szabályos sokszögek alkotják, és ezek egyforma szögeket zárnak be. Szabályos test duálisa is szabályos test. Ezek általánosításai az arkhimédészi testek, a velük duális Catalan-testek és a Johnson-testek. Ezek közül csak a csonkolt oktaéderrel és a gyrobifastigiummal lehet hiánytalanul kitölteni a teret. Johnson-testből 92 van. Összesen 5 szabályos test van. Az elnevezésük a görög számnevekből származik.
A prizmák speciális hasábok: egyenes hasábok, az alaplapjuk szabályos, palástjuk pedig négyzetekből áll. Uniform hasábnak is nevezik.
Hengerek és kúpszerű testek
Vannak olyan testek is, amelyeket síkidomok és görbült felületek határolnak. Végül vannak olyanok is, amelyeket csak görbült felületek határolnak.
Azok között a testek között, amelyek nem poliéderek, találunk olyanokat, amelyeknek a felülete síkba kiteríthető, és olyanokat is, amelyeknek a felülete nem teríthető ki síkba. A kiteríthetőség a felszín kiszámítása miatt fontos. A testek felszíne a határoló lapok területének összege. Amelyik test síkba kiteríthető, annak a felszíne az így kapott síkidomok területének az összege. Ha nem teríthető ki a síkba a test, nehéz meghatározni a felszínét. A középiskolai matematikában csak a gömb és annak a részei ilyen tulajdonságúak.
Csoportosíthatjuk a testeket a származtatásuk szerint is.
Ha egy síkidom kerületén önmagával párhuzamosan végigvezetünk egy olyan egyenest, amelynek egy közös pontja van a síkkal, akkor végtelen hengerfelületet kapunk. Ezt elmetsszük az alaplappal párhuzamos síkkal, így hengerszerű test keletkezik. A végigvezetett egyenesnek az alaplap és a fedőlap közé eső szakasza az alkotó. A két sík távolsága a magasság. Ha az alkotók merőlegesek az alaplapra, a test egyenes, ha nem, akkor ferde. Ha az alaplap kör, a test neve henger, ha az alaplap sokszög, akkor pedig hasáb.
Ha egy síkidom kerületén úgy vezetünk végig egy egyenest, hogy az állandóan illeszkedjen egy, a síkidom síkján kívüli pontra, akkor kúpszerű testet kapunk. A csúcspont és az alaplap távolsága a test magassága. Ha a csúcspontot összekötjük az alaplap kerületi pontjaival, akkor alkotókat kapunk. A kúpszerű test kúp, ha az alaplap kör, gúla, ha az alaplap sokszög. A kúp lehet egyenes vagy ferde. Szabályos gúláról akkor beszélünk, ha az alaplapja szabályos sokszög és az oldalélei egyenlők.
Csonka kúpszerű testet kapunk, ha a kúpszerű testet elmetsszük az alaplappal párhuzamos síkkal. A csonka test lehet csonka gúla vagy csonka kúp is.
Forgástestek
Forgástestek azok a testek, melyek megkaphatók egy görbe tengely körüli elforgatásával. A tengellyel párhuzamos összes metszet kör vagy körgyűrű alakú. Erre példa a gömb, a henger, a gúla, a csonkagúla, a tórusz és a forgásellipszoid.
A gömb
Egyik eddigi csoportba sem sorolható be a gömb. A gömbfelület olyan pontok halmaza a térben, amelyek egy adott ponttól, a középponttól egyenlő távolságra vannak. Ha egy kört megforgatunk valamelyik átmérője körül, akkor gömböt kapunk.
Nevezetes mértani testek és magyar felfedezések
A legismertebb mértani testeket sokszög, körlap vagy gömbrész felületek határolják. Többek között a hengerek, a gömbök és a gúlák (speciálisan a tetraéderek és a piramisok) tartoznak az ismertebb mértani testek közé.
A mértani testek mind a háromdimenziós tér () részhalmazai, így a halmazműveletek minden további nélkül alkalmazhatóak rájuk. Mértani testek metszete, uniója és különbsége is mértani test.
Az ismert testek mellett sok különleges mértani test van. Közülük három olyat vizsgálunk meg, amelyeket magyar tudósok fedeztek fel.
Szabályos és különleges testek
Szabályos testek a poliéderek közül azok, amelyeknek a lapjai egybevágó, szabályos sokszögek, valamint az élszögei és a lapszögei is egyenlők.
A Szilassi-poliéder egy konkáv poliéder hét hatszögletű lappal. A tetraéder mellett az egyetlen olyan poliéder, amire teljesül, hogy bármelyik két lapjának van közös éle. Nevét Szilassi Lajos magyar matematikusról kapta, aki az alakzatot 1977-ben fedezte fel.
A Császár-féle test nemkonvex poliéder. 14 háromszög határolja. Átlói nincsenek, minden pár csúcs egy élben érintkezik egymással. A nevét a felfedezőjéről, Császár Ákosról kapta.
És végül ismerkedj meg a gömböccel! A gömböc egy konvex, homogén, háromdimenziós test, amelynek az a specialitása, hogy összesen két: egy stabil és egy instabil egyensúlyi helyzete van. A stabil helyzet az, amit a képek mutatnak. Az instabil ugyanez fejjel lefelé fordítva. Itt elvben meg tudna állni, de bármely kis mozgás kibillenti ebből a helyzetből. Ezt a különleges testet Várkonyi Péter és Dr. Csordás József − Kosztolányi József − Kovács István − Pintér Klára − Dr. Urbán János − Vincze István alkották meg.
Hollán Ernő és a magyar matematika
Hollán Ernő neve ismerős minden szombathelyi számára, hiszen utcát és középiskolai kollégiumot is neveztek el róla. és munkássága meghatározó volt a magyar matematika fejlődésének történetében.
Hollán a Mértan alapvonalai tudományosan rendszeresítve című könyvét 1854-ben (házasságának évében) adták ki Bécsben. A könyv címoldalán olvasható az is, hogy a szerző munkáját „a magyar felsőbb tanodák használatára” készítette. Ez a könyv hiánypótló volt ez akkoriban, és jelentősen hozzájárult a magyar szaknyelv fejlődéséhez.
A könyv "első szakasza" az egyenes vonalú alakzatokról szól, beleértve az egyeneseket, szakaszokat, köröket - értelmezésükkel együtt. A párhuzamossági axióma, Euklidész V. posztulátuma is ebben a fejezetben található. A könyv tárgyalja a háromszögek típusait, a négyszögeket (négyzet, trapéz, rombusz) és azok tulajdonságait, valamint a konvex sokszögeket és a szabályos sokszögeket. Külön függelék szólt a geometriai szerkesztésekről, az „alakításokról”.
Hollán a könyvében értelmezte a poliéderek felszínét és térfogatát is. A gúla térfogata egyenlő az alapterület és a magasság szorzatának harmadával. A hasáb térfogatképletét pedig ebből vezette le.
A könyv további részeiben a gömb, a gömbmetszetek, a gömbháromszögek geometriája és trigonometriája, valamint a szabályos sokszögek szerkesztésének módja is részletesen tárgyalásra kerül.
A Kimondhatatlan Dolgok Amiket A Hóhérok Tettek A Középkorban
A magyar matematikai szaknyelv megteremtését a Tudós Társaság és később az Akadémia is támogatta. Ezek a tudósok, mint például Hollán Ernő, a saját (magyar nyelvű) geometriai tankönyveikkel járultak hozzá a magyar nyelvű oktatás fejlesztéséhez és az ismeretek szélesebb körben való elérhetővé tételéhez.
A téma mélyebb megértéséhez javasolt a mértani testek csoportosításának, a poliéderek jellemzőinek, a forgástestek és a szabályos testek tanulmányozása.
tags: #mertani #testek #testek #epitese #ppt